*** Projeté d'un point sur un plan ?

On considère le pavé droit \(\mathrm{ABCDEFGH}\) tel que \(\mathrm{AB = 3}\) et \(\mathrm{AD = AE = 1}\) représenté ci-dessous.

On considère le point \(\text I\) du segment \([\mathrm{AB}]\) tel que \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} = 3\overrightarrow{\mathrm{AI}}\) et on appelle M le milieu du segment \([\mathrm{CD}]\) .

On se place dans le repère orthonormé \((\text A~; \overrightarrow{\mathrm{AI}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}})\) .

1. a. Donner les coordonnées des points \(\text F\) , \(\text H\) et \(\text M\) .
    b. Justifier que les points   \(\text F\) , \(\text H\) et \(\text M\) forment un plan qu'on notera \((\mathrm{FHM})\) .

2. a. Calculer les coordonnées des vecteurs  \(\overrightarrow{\mathrm{HF}}\) ,  \(\overrightarrow{\mathrm{HM}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{FM}}\) .
    b. En déduire les distances \(\mathrm{HF}\) , \(\mathrm{HM}\) et \(\mathrm{FM}\) . En déduire la nature du triangle \(\mathrm{FHM}\) .

3. a. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow n \begin{pmatrix} 2\\6\\3\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan \((\mathrm{FHM})\) .
    b. Le point \(\text R\) de coordonnées \(\left(3~;~\dfrac14~;~\dfrac12\right)\) est-il le projeté orthogonal du point \(\text G\) sur le plan \((\mathrm{FHM})\) ? Justifier la réponse.